Análise de Sistemas Dinâmicos - Exercícios
Prof. Alberto Adade Filho (ITA/CTA)

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Um sistema linear, invariante no tempo, de segunda ordem, padrão, apresenta, para uma excitação degrau unitário, percentagem de "overshoot" de 20% e tempo de pico de 1,5 s. Determinar a função de transferência do sistema, G(s).

A figura abaixo representa a resposta a degrau de um sistema de segunda-ordem (linear, invariante no tempo) a um degrau unitário de entrada.

                           

(a) Determinar a função de transferência do sistema.
(b) Este sistema não satisfaz as especificações de desempenho para uma entrada degrau unitário:

            "overshoot"  £ 15%

            2s £ Ts £ 4s (tempo de estabelecimento, critério 2%)

Assinalar a região no plano-s em que os pólos do sistema deveriam estar localizados para isso.

O sistema abaixo representa um acelerômetro para medição de acelerações angulares.

Para quais os valores de k e b para o instrumento apresentar o seguinte diagrama de pólos e zeros :

Para a resposta a um degrau de aceleração, determinar :

tempo de subida, Tr (critério 0-100%);

tempo de estabelecimento, Ts (critério de 2%); e

porcentagem de sobresinal ("overshoot").

 

A resposta a degrau de um sistema linear, invariante no tempo, inicialmente em repouso foi determinada como:

1. Determinar a função de transferência para esse sistema;
2. Traçar o diagrama de pólos e zeros para essa função de transferência. Qual a freqüência natural amortecida, o tempo de pico e a porcentagem de sobresinal ("overshoot") que o sistema apresenta  na resposta a degrau unitário.

  Dois sistemas competidores apresentam as seguintes funções de transferência, de acordo com os respectivos fornecedores:

As especificações para a aplicação pretendida são, em relação a uma entrada x(t) = 1(t):

                0 < M_p £ 20%             percentagem de sobresinal 

t_s £ 4 s                     tempo de estabelecimento (critério 2%)

                    t_p < 2 s                     tempo de pico

                    e_ss £ 0,02                 erro de estado-estacionário

Obs. , onde x(t) e y(t) são a entrada e a saída para o sistema, respectivamente.

1. Verificar se os dois sistemas satisfazem as especificações.

(Obs. Montar uma tabela com os índices de desempenho para cada sistema.)

2. Mediante os resultados em (a) e na contingência de optar por um dos sistemas, justificar a sua escolha.

  O sistema massa-mola-amortecedor exibe a resposta no gráfico mostrado abaixo, quando a massa é batida por um martelo. (A pancada efetivamente impõe uma velocidade à massa instantaneamente.)

1. Estimar a freqüência natural (w _n) e a razão de amortecimento (z ) do sistema.
2. Estimar a constante de mola dado que a massa é 4 kg.

Sugestão: o decremento logarítmico L , uma medida da taxa de amortecimento da resposta, definido como o logaritmo natural da razão de amplitudes de picos na resposta, é dado, para um sistema de segunda-ordem, para picos sucessivos decrescentes, por

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