Análise de Sistemas Dinâmicos - Exercícios
Prof. Alberto Adade Filho (ITA/CTA)

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REPRESENTAÇÃO E SOLUÇÃO DE MODELOS NO ESPAÇO DE ESTADOS - SISTEMAS CONTÍNUOS E DISCRETOS NO TEMPO

 

Um sistema é descrito por

 

Determinar x(t) para x(0) = [0  0  1]T e u(t) = 0.

  A propagação de uma doença epidêmica pode ser descrita por um conjunto de equações diferenciais. A população é dividida em três grupos x1, x2 e x3. O grupo x1 é o de pessoas susceptíveis à doença; o grupo x2 o de pessoas infectadas ou doentes; e o grupo x3 são pessoas retiradas de x1 e x2. A retirada das pessoas corresponde às pessoas imunizadas (ter sarado ou vacinado) e morte ou isolamento (não transmissor, nem susceptível à doença). O sistema pode ser representado por,

           

           

           

u1 e u2 são pessoas que entraram na comunidade, susceptíveis à doença ou já infectadas, respectivamente.

  1. Escrever uma representação no espaço de estados, na forma padrão, para esse sistema.

    b.  Para a = 1, b = ½, g = 2, determinar a matriz de transição de estados do sistema.

Um sistema multivariável é representado pelo seguinte conjunto de equações diferenciais:

onde u1, u2 são as entradas para o sistema e y é a saída. Representar esse sistema no espaço de estados (forma padrão).

  Um sistema tem duas entradas u = [u1   u2 ]' e duas saídas y = [y1   y2]', relacionadas pelas seguintes equações diferenciais:

                       

e

                       

Escrever um modelo no espaço de estados para o sistema. Solucionar este modelo determinando y(t) para y1(0) = 1, y2(0) = 2, , u1(t) º 0 e u2(t) = d (t) (impulso unitário em t=0).

Um sistema não linear, multivariável, é descrito pelas equações diferenciais,

onde u1(t) e u2(t) são as entradas e y1(t) e y2(t) as saídas dos sistema.

  1. Descrever este sistema no espaço de estados.
  2. Determinar o(s) ponto(s) de equilíbrio e linearizar o modelo em (a) em torno de um ponto de equilíbrio.
  3. Determinar a matriz de transição de estados do modelo linearizado.
  4. Determinar a saída y(t) = [ y1(t)    y2(t) ]T para u(t) = [ u1(t)    u2(t) ]T = [ et      0 ]T e condições iniciais nulas.

Seja o sistema representado pelo grafo de fluxo de de sinais ( fluxograma ) dado abaixo.

a) Determinar a equação a diferenças relacionando a saída y(k) à entrada u(k) ;

b) Escrever uma representação no espaço de estados para esse sistema .

 

  Considerar o sistema representado pelo diagrama de blocos:

  1. Determinar um modelo no espaço de estados para o sistema;
  2. Para que valores do parâmetro k o sistema é estável.

Considerar o problema ecológico dos coelhos e raposas num meio controlado. Se os coelhos ficassem sozinhos, seu número cresceria indefinidamente até que o suprimento de comida fosse exaurido. Seja x1 representar a população de coelhos; então, sua taxa de crescimento é dada por dx1/dt = a x1. Contudo, as raposas no ambiente, alimentando-se dos coelhos, alteram este relacionamento para dx1/dt = a x1 - b x2 , onde x2 representa a população de raposas. Uma vez que as raposas necessitam de coelhos para subsistirem então sua taxa de crescimento é dada por dx2/dt = -c x2 - d x1 .

a. Assumindo que a=1, b=3, c=3 e d=4/3, determinar a matriz de transição de estados para este sistema dinâmico.

b. Determinar o estado do sistema, x(t), quando x1(0) = 100 e x2(0) = 50.

  Um sistema é descrito pelo modelo no espaço de estados:

                       

                       

                       

                        y = x1 – x2

onde u e y são a entrada e a saída do sistema, respectivamente.

  1. Determinar a matriz de transição de estados do sistema;
  2. Determinar a saída y(t) do sistema para a condição inicial x(0) = [ 9   1   0]T e u(t) = 1(t).
Um profissional liberal apresenta situação econômica tal que pode suprir todas as suas necessidades materiais. O excedente em seus ganhos (w ) é dividido em duas partes: uma vai para aumentar o seu patrimônio e a outra parte é destinada a elevar o seu status social e econômico através de afiliação em clubes, entretenimento social e atividades similares. A divisão desse excesso nos ganhos é representada pelas equações:

onde Kp e KL são as respectivas constantes, p é o valor monetário do patrimônio acumulado e L é o valor do status social e econômico na escala social. A variável de Jones (J) é uma medida do desejo de manter o status e é igual a,

                J = K1 L – p

No intuito de permanecer competindo com seus colegas e conhecidos, o profissional se esforça para aumentar seus ganhos segundo,

  1. Identificar as variáveis de estado e escrever a equação de estado para esse sistema;
  2. Quando a = 0,5 , Kp = KL = 1 e K1 = 1, determinar a matriz de transição de estados para o sistema;
  3. Para condições iniciais definidas por p(0) = L(0) = 0 e w (0) = 10, determinar o estado após seis (6) meses.

Obs. As unidades estão normalizadas tal que o tempo está em meses e os ganhos (rendimentos) em milhares de reais.

Para o sistema que tem a seguinte função de transferência:

                       

Definir convenientemente variáveis de estado de modo a obter uma equação dinâmica na forma canônica controlável ou na forma canônica observável.

Seja a descrição no espaço de estados de um sistema,

x(k+1) = A x (k) + B u(k)

y(k+1) = C x (k) + D u(k)

Um novo vetor de estados, v(k), foi definido para este sistema através da transformação,

v(k) = Q x (k)

onde Q é uma matriz inversiva.

a) Determinar a nova descrição no espaço de estados do sistema , em termos das matrizes A,B,C,D,Q .

b) Mostrar que as duas descrições apresentam a mesma matriz de transferência.

 

Considerar um sistema discreto no tempo, descrito pelas seguintes equações a diferenças :

y (k) – 2 y(k-1) + y(k-2) = u1(k)

v (k) – v(k-1) - y(k-2) = u2(k)

onde u = [ u1     u2 ]T é o vetor de entradas e y = [ y      v ]T é o vetor de saídas.

a) Representar este sistema no espaço de estados;

b) Determinar a matriz da transição de estados para o sistema.

Para o sistema amostrado a seguir:

Planta:

  1. Obter o modelo discreto no tempo, no espaço de estados;
  2. Determinar a matriz de transição de estados para o sistema discretizado.

  Considerar o seguinte modelo macroeconométrico. Seja Y(k) a renda no ano k, I(k) o investimento naquele ano e C(k) o consumo. Então, pode-se escrever Y(k) = C(k) + I(k). Assume-se que o consumo total durante o ano é proporcional à renda total no ano anterior e também ao investimento feito dois anos atrás, isto é, C(k) = a Y(k-1) + d I(k-2), onde a e d são constantes de proporcionalidade, e que o investimento no ano, I(k), é proporcional ao incremento de renda para os dois anos anteriores, I(k) = b [Y(k-1) – Y(k-2)], onde b é uma constante (positiva) de proporcionalidade. Obter uma representação no espaço de estados para esse sistema.

 

  Determinar a matriz de transição de estados do sistema descrito pelo modelo abaixo, usando técnica de transformada:

               

 

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