Análise de Sistemas Dinâmicos - Exercícios
Prof. Alberto Adade Filho (ITA/CTA)

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Usando o método da energia (Equação de Lagrange) determine as equações de movimento do sistema abaixo, em termos das variáveis que descrevem o movimento das extremidades da máquina:

  Um carro de massa M move-se ao longo de um plano horizontal sem atrito. Pendurado no carro está um pêndulo simples de comprimento l e massa concentrada m, como mostrado no diagrama abaixo. Usando a equação de Lagrange, determinar as equações de movimento para o sistema.

(Nota: para fins de explicitar forças gravitacionais, considerar como referência o plano horizontal passando pela posição de equilíbrio do pêndulo em repouso.)

Usando o método da energia (Eq. de Lagrange), determine as equações de movimento do sistema abaixo:

Para o sistema esquematizado abaixo, considerando: (a) alavanca ideal; (b) quando q = x = 0 as molas não estão deformadas; (c) |q| é pequeno tal que senq » q  e cosq » 1; achar o valor de q que corresponde à posição de equilíbrio estático onde f_a(t) = 0 e as massas estão estacionárias. Obter um modelo matemático para o sistema.

  A placa móvel de um capacitor está conectada mecânicamente, através de uma mola linear de constante k, ao núcleo móvel de um indutor. Os dois transdutores também estão conectados eletricamente em série com uma fonte de tensão ideal constante E₀. Sejam,

                                                    ,             

onde L₀, C₀, x₀ e d₀ são constantes. Assumir que quando x₁ = 0 e x₂ = 0, a mola não está deformada.

Obtenha as equações de movimento do sistema.

A figura a seguir mostra um modelo físico idealizado de um dispositivo gerador de vibrações mecânicas (shaker). Na figura,

K_{f ,} B_f : rigidez e coeficiente de amortecimento da montagem de guia para o movimento axial da bobina e da mesa;

K_tc , B_tc : efeitos "parasíticos" de mola e amortecedor no acoplamento da bobina à mesa de vibrações;

M_c , M_t : massa da bobina e da mesa, respectivamente.

M_e : massa do elemento montado na mesa.

Neste sistema, dois efeitos eletromecânicos ('indutor' e 'gerador') são observados. O movimento da bobina através do campo criado pelo magneto ocasiona indução de uma tensão proporcional à velocidade, enquanto que a passagem de corrente pela bobina a faz experimentar uma força proporcional à corrente. No sistema MKS, esses ganhos são iguais, K_f/i = K_e/v. O magneto está rigidamente preso à fundação e o elemento de teste (massa M_e) é afixado rigidamente à mesa de vibrações. Usando a formulação de Lagrange (método de energia), determine as equações de movimento para o sistema.

  Um modelo de um esquema de instrumentação de vibrações está mostrado abaixo. Um sistema vibratório representado por uma massa m, sustentada por uma mola e um amortecedor, está ligada a uma fundação móvel (mesa vibratória) que é acionada com um histórico de deslocamento pré-stabelecido x₀(t). Um sensor capacitivo utiliza a massa como uma placa de um capacitor de placa flutuante. Seja a capacitância,

e assuma que a mola não está tracionada quando x₀ = x. O sensor capacitivo é alimentado pela fonte ideal de tensão E₀ e o resistor R modela a resistência de entrada de um amplificador de sinais. A capacitância C₁ modela capacitâncias parasíticas de um cabo coaxial isolado, conectando o sensor ao amplificador. Obtenha as equações de movimento para esse sistema eletromecânico.

  O sistema abaixo consiste de uma viga reta rígida, livre para girar em torno de seu centro. O ângulo q da viga é controlada por uma força F(t) aplicada a uma distância l do ponto de pivotamento. Uma mola linear k e o dissipador b que estão associados ao atuador usado para aplicar a força, também estão mostrados. Assumir que a esfera é uma massa pontual. Considerando pequenos deslocamentos angulares q , utilize a equação de Lagrange para determinar as equações de movimento deste sistema.

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