Análise de Sistemas Dinâmicos - Exercícios
Prof. Alberto Adade Filho (ITA/CTA)

Índice

Para o modelo tipo Lotka-Volterra abaixo, determinar os pontos de equilíbrio e linearizar o modelo em torno de um ponto de equilíbrio não nulo:

onde a₁, a₂, b₁, b₂, c₁ > 0.

Seja o seguinte modelo matemático:

ÿ = u.y³ -3.y – 2.y

Linearizar esta equação em torno da solução nominal:

Um sistema é descrito pelo conjunto de equações diferenciais,

= - ( y + z )

= x + a . y

= ß + z ( x -m)

onde a, ß, m são constantes reais. Para a = 0,398, ß = 2 e m = 2,5 , linearizar o modelo em torno de um de seus pontos de equilíbrio.

   Um sistema não linear é descrito pelas equações,

            Para o sinal de entrada u(t) = 2 + B cos2t, determinar,

     (a)    o ponto de operação do sistema;

    (b)   o modelo linearizado em torno deste ponto de operação;

Considerar o modelo matemático ("atrator de Lorentz")

1. Determinar os pontos de equilíbrio para este modelo;
2. Linearizar o modelo em torno do ponto de equilíbrio nulo;
3. Determinar para que valores dos parâmetros a, b, g o sistema linearizado (ponto de equilíbrio nulo) é estável.

Seja o seja o seguinte modelo não linear de um sistema:

y’’ + 3y’ + 2y = u . y³;

1. Linearize esta equação em torno da solução nominal:

y^*(t) = e^-t,

u^*(t) = 0.

2. Determine a solução da equação linearizada para u(t) = e^t, t ³ 0 e condições iniciais nulas.

  O sistema mecânico não-linear mostrado abaixo tem M = 1,5 kg, B = 0,5 N s/m e a característica f_K(x) está plotada na figura. A constante gravitacional é 9,807 m/s². A variável x denota o comprimento total da mola.

1. Escreva a equação diferencial não-linear que o sistema obedece, com os coeficientes em forma numérica.
2. Resolva para o ponto de operação x₀.
3. Obtenha a equação diferencial linearizada que é válida na vizinhança do ponto de operação.
4. Dê o intervalo de x para o qual a força linearizada da mola está dentro de 25% da força não-linear da mola.

Considerar o seguinte sistema não linear:

Linearizar estas equações em torno da trajetória nominal [x₀₁(t) , x₀₂(t)], que é a solução das equações com condições iniciais x₁(0) = x₂(0) = 1 e entrada u(t) = 0.

Uma massa de 20 kg está suspensa por uma mola tendo a característica não-linear dada na figura abaixo. Escreva a equação diferencial linearizada de movimento, para pequenos movimentos em torno da posição de equilíbrio estático.

A figura abaixo apresenta as características de tração ("thrust") e arrasto ("drag") para um bote motorizado.

Escrever a equação de movimento linearizada do bote, em torno da condição de equilíbrio a 45 ft/s, considerando a massa efetiva do sistema (bote + carga + água acelerada juntamente com o bote),  m = 116,5 lb.

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