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ÍNDICE

I Introdução à Análise de Sistemas Dinâmicos 1
I.1 Conceituações Preliminares 1
I.2 O Processo de Análise 2
I.3 Modelos e Seus Significados 4
I.4 Modelagem de Sistemas / Construção de Modelos 5
I.5 Classificação de Modelos 9
II A Solução de Modelos Matemáticos 16
II.1 Formas de Modelos e Soluções 16
II.1.1 Linearizações 16
II.1.2 Descrição Tipo Entrada-Saída para Sistemas Contínuos, Lineares, Invariantes no Tempo 21
II.1.2.1 Equação Diferencial 21
II.1.2.2 Resposta ao Impulso 27
II.1.2.3 Função de Transferência 30
II.1.3 A Descrição Interna ou no Espaço de Estados, para Sistemas Contínuos, Lineares, Invariantes no Tempo 33
II.1.3.1 O Conceito de Estado 33
II.1.3.2 A Equação Dinâmica 35
II.1.3.3 Matriz de Transferência da Equação Dinâmica 36
II.1.3.4 Exemplos Ilustrativos de Descrição Interna 37
II.1.3.4.1 Representação (realização) por variáveis de estado de funções de transferências racionais próprias 37
II.1.3.4.2 Motor dc controlado pela armadura 40
II.1.3.4.3 Pêndulo invertido sobre plataforma móvel 41
II.1.3.5 A Solução da Equação Dinâmica (Caso Invariante no Tempo) 43
II.1.3.6 Cálculo da Matriz de Transição de Estados 50
II.1.4 Descrição tipo Entrada-Saída para Sistemas Discretos Lineares, Invariantes no Tempo 54
II.1.4.1 Equação a Diferenças 54
II.1.4.2 Resposta a Pulso e Degrau Unitários e Somatória de Convolução 58
II.1.4.3 Função de Transferência em Sistemas Discretos 60
II.1.4.4 Representação no Espaço de Estados 62
II.1.4.4.1 Conceituação de Estado 62
II.1.4.4.2 A Equação Dinâmica 62
II.1.4.4.3 Matriz de Transferência 64
II.1.4.4.4 A Solução da Equação Dinâmica 65
II.1.4.4.5 Cálculo da Matriz de Transição de Estados 68
II.1.4.4.6 Representação no Espaço de Estados para Sistemas Amostrados 68
III Diagrama de Blocos e Grafo de Fluxo de Sinais 70
III.1 Introdução 70
III.2 Diagrama de Blocos 70
III.2.1 Representação na Forma de Diagramas de Blocos 70
III.2.2 Álgebra de Diagramas de Blocos 75
III.3 Grafo de Fluxo de Sinais (Fluxograma) 77
III.3.1 Representação na Forma de Grafo de Fluxo de Sinais 77
III.3.2 Fórmula de Mason 80
III.3.3 Elaboração de Diagramas de Simulação para Funções de Transferência 85
IV A Problemática da Modelagem 89
IV.1 Variáveis de Sistemas, Potência e Energia 90
IV.2 Modelagem Física por Meio de Elementos Concentrados Idealizados 88
IV.2.1 Elementos de Sistemas Mecânicos a Dois Terminais 90
IV.2.2 Elementos a Dois Terminais de Sistemas Elétricos 94
IV.2.3 Variáveis "Entre" e "Através" - Variáveis de "Esforço" e "Fluxo" 94
IV.2.4 Elementos Idealizados de Sistemas Fluidos e Térmicos 95
IV.2.5 Generalização dos Elementos de Sistemas Dinâmicos 104
IV.2.5.1 Introdução 104
IV.2.5.2 Elementos Básicos de Sistemas a Parâmetros Concentrados 105
IV.2.5.2.1 Armazenadores de Energia Tipo-A 105
IV.2.5.2.2 Armazenadores de Energia Tipo-E 107
IV.2.5.2.3 Dissipadores - Elementos Tipo-D 110
IV.2.5.2.4 Fontes de Energia Tipo-A e Tipo-E 111
IV.3 Representação de Elementos por Grafos e Grafo do Sistema 112
IV.4 Analogias Entre Sistemas Físicos 116
IV.4.1 Sistemas Análogos 116
IV.4.2 Dualidade 117
IV.4.3 Dualogia 119
IV.5 Impedâncias Generalizadas 121
IV.6 Elementos a Quatro Terminais em Sistemas Dinâmicos 128
IV.6.1 Transformadores Generalizados Puros 128
IV.6.1.1 Transformador Mecânico Translacional Puro 130
IV.6.1.2 Transformador Mecânico Rotacional Puro 131
IV.6.1.3 Transformador Fluido Puro 132
IV.6.1.4 Transformador Elétrico Puro 133
IV.6.1.5 Transformadores Entre Diferentes Tipos de Energia 134
IV.6.2 Giradores Generalizados Puros 135
IV.6.2.1 Bombas e Motores Hidráulicos de Deslocamento Positivo 137
IV.6.2.2 Atuador Hidráulico Linear Ideal 139
IV.6.3 Impedâncias Equivalentes em Sistemas Envolvendo Transformadores e Giradores Generalizados 140
IV.6.3.1 Impedâncias Equivalentes em Sistemas com Transformadores 140
IV.6.3.2 Impedâncias Equivalentes em Sistemas com Giradores 144
IV.6.3.3 Exemplos 146
IV.6.3.4 Elementos Transformadores e Giradores Como Fontes Controladas 158
IV.6.3.5 Elementos Multipórtico Modulados 159
V Métodos de Modelagem Matemática 161
V.1 Introdução 161
V.2 Métodos Utilizando o Grafo do Sistema ou Método de Redes 161
V.2.1 Definições e Conceitos sobre Grafos Orientados 161
V.2.2 Compatibilidade e Continuidade Generalizadas 161
V.2.3 Formulação das Equações de um Sistema 163
V.2.3.1 Método dos Nós 163
V.2.3.2 Método das Malhas 166
V.2.3.3 Sistemas Incluindo Elementos a Quatro Terminais 169
V.2.3.4 Inclusão de Condições Iniciais 173
V.2.4 Obtenção de Modelos no Espaço de Estados 176
V.2.4.1 Introdução 176
V.2.4.2 Definições Preliminares 177
V.1.4.3 Procedimento Sistemático para Obtenção de Modelos no Espaço de Estados 177
V.2.4.4 Aplicações 178
V.3 O Método da Energia (Equação de Lagrange) 187
V.3.1 Introdução 187
V.3.2 Equação de Lagrange 187
V.3.3 O Método da Energia para Sistemas Generalizados 190
V.3.4 Aplicações 194
V.3.5 Sistemas com Elementos Puros a Quatro Terminais 207
VI Introdução à Modelagem Usando Grafos de Ligações 209
VI.1 Definições Básicas 209
VI.2 Representação por Grafos de Ligações 209
VI.2.1 Elementos a Dois Terminais 209
VI.2.2 Estrutura das Junções Tipo 0 e Tipo 1 212
VI.2.3 Elementos Multipórtico 213
VI.2.4 Causalidade 214
VI.2.5 Exemplos de Representação por Grafos de Ligações 217
VI.2.6 Exemplo de Designação de Causalidade 220
VI.3 Obtenção das Equações do Sistema 222
VII Simulação de Sistemas Dinâmicos 226
VII.1 Introdução à Simulação Digital 226
VII.2 SIMULINK – Preliminares 226
VII.3 Iniciando o SIMULINK 227
VII.4 Construindo um Modelo de Simulação 227
VII.4.1 Introdução 227
VII.4.2 Bibliotecas de Blocos 228
VII.4.2.1 SOURCES 228
VII.4.2.2 SINKS 229
VII.4.2.3 LINEAR 230
VII.4.2.4 DISCRETE 231
VII.4.2.5 NONLINEAR 232
VII.4.2.6 CONNECTIONS 233
VII.4.2.7 EXTRAS 234
VII.4.3 Exemplo Ilustrativo 235
VII.5 Realizar uma Corrida de Simulação 238
VII.6 Outros Recursos 238
VII.6.1 Linearização 238
VII.6.2 Determinação de Pontos de Equilíbrio 238
VII.7 Aplicações 239
VII.7.1 Simulação de Equações Diferenciais 239
VII.7.2 Simulação da Suspensão de um Veículo 240
VII.7.2 Simulação de um Kart Movendo-se Entre Dois Batentes 242

VIII Análise de Sinais e de Sistemas Dinâmicos, Assistida por Computador 244
VIII.1 Representação de Funções e Geração de Sinais 244
VIII.1.1 Representação de Funções Matemáticas 244
VIII.1.2 Geração de Sinais e Seqüências 246
VIII.2 Integração Numérica 255
VIII.3 Equações Algébricas Não Lineares e Otimização 256
VIII.4 Solução de Equações Diferenciais 258
VIII.5 Polinômios e Ajustes de Curvas 262
VIII.6 Representação e Conversão de Modelos 265
VIII.7 Conversão Entre Modelos Contínuos e Discretos 267
VIII.8 Modelos e Diagramas de Blocos 273
VIII.9 Resposta Temporal de Sistemas 274
VIII.10 Análise de Fourier 286
VIII.11 Resposta em Freqüência 291
VIII.12 Resolução de Sistemas de Equações Lineares 294
VIII.13 Simulação 295
Apêndice A - Funções Singulares em Sistemas 299
Apêndice B - A Transformada de Laplace 306
B.1 Definição 306
B.2 Propriedades da Transformada de Laplace 307
B.2.1 Linearidade 307
B.2.2 Diferenciação Real 308
B.2.3 Integração Real 309
B.2.4 Diferenciação em s 310
B.2.5 Translação Complexa 311
B.2.6 Translação Real 312
B.2.7 Mudança na Escala de Tempo 313
B.3 Resultados Adicionais 313
B.3.1 Transformada de Laplace da Convolução de Dois Sinais 313
B.3.2 Teorema de Parseval 314
B.3.3 Teorema do Valor Final 315
B.3.4 Teorema do Valor Inicial 316
B.3.5 Transformada de Laplace de Funções Periódicas 318
B.4 Transformada Inversa de Laplace pelo Método da Expansão em Frações Parciais 319
B.4.1 Expansão em frações parciais quando F(s) envolve apenas raízes distintas 320
B.4.1.1 F(s) envolve raízes complexas conjugadas 321
B.4.2 Expansão em frações parciais quando F(s) envolve raízes múltiplas 323
B.5 Solução de Equações Diferenciais Lineares, Invariantes no Tempo, pelo
Método da Transformada de Laplace 326
B.6 Relação com a Transformada de Fourier 329
B.7 Diagrama de Pólos e Zeros 330
B.8 Determinação Gráfica dos Resíduos da Expansão em Frações Parciais de F(s) 332
Anexo B.1 Tabela de Transformadas de Laplace 334
Apêndice C - Funções de Variáveis Complexas 335
C.1 Funções 335
C.2 Limites 335
C.3 Continuidade 335
C.4 Derivadas 335
C.5 Condições de Cauchy-Riemann 335
C.6 Funções Analíticas 336
C.7 Integrais 336
C.8 Teorema de Cauchy-Goursat 337
C.9 Fórmulas da Integral de Cauchy 337
C.10 Série de Taylor 337
C.11 Série de Laurent 338
C.12 Zeros e Pólos 339
C.13 Resíduos 340
C.14 Resultados Adicionais 340
C.15 Identidade de Euler 341
Apêndice D - Matrizes, Álgebra Matricial e Introdução à Álgebra Linear 342
D.1 Definição 342
D.2 Operações 342
D.3 Determinante de uma Matriz 343
D.4 Outras Definições 344
D.5 Inversão de Matrizes 346
D.5.1 Inversas Generalizadas e Pseudo-Inversa 346
D.6 Algumas Identidades Matriciais 347
D.7 Operações Elementares Sobre Matrizes 349
D.7.1 Operações Sobre Linhas 349
D.7.1.1 Intercambiar duas linhas de A 349
D.7.1.2 Multiplicar uma linha de A por uma constante 349
D.7.1.3 Somar uma linha multiplicada por uma constante, a uma outra linha de A 349
D.7.2 Operações Sobre Colunas 350
D.8 Diferenciação e Integração de Matrizes 350
D.9 Matrizes Equivalentes e Matrizes Similares 351
D.10 Matrizes como Representações de Operadores Lineares em Espaços Vetoriais 351
D.10.1 Espaços Lineares, Dependência Linear, Bases e Representações 351
D.10.2 Normas, Produto Interno e Ortogonalidade 353
D.10.2.1 Normas 353
D.10.2.1.1 Normas de Vetores 353
D.10.2.1.2 Normas de Matrizes 354
D.10.2.2 Produto Interno ou Produto Escalar 355
D.10.2.3 Ortogonalidade 356
D.10.3 Base Recíproca e a Determinação de Representações de Vetores 356
D.10.4 Ortogonalização 357
D.10.4.1 Processo de Ortonormalização de Gram-Schmidt 357
D.10.5 Operadores Lineares e Matrizes 358
D.10.6 Espaço Imagem e Espaço Nulo 360
D.11 Sistema de Equações (Algébricas) Lineares 361
D.12 Autovalores (Valores Característicos) e Autovetores de uma Matriz 363
D.13 Diagonalização 364
D.14 Funções de uma Matriz Quadrada 365
D.15 Formas Quadráticas ou Hermitianas 367
D.16 Decomposição em Valores Singulares 368
D.17 Formas Especiais e Fatorações 369
D.17.1 Forma de Hessenberg 369
D.17.2 Matriz de Vandermonde 369
D.17.3 Matriz de Toeplitz 370
D.17.4 Transformação de Householder 370
D.17.5 Fatoração Q-R 371
Apêndice E - A Regra de Cramer no Estudo de Sistemas 372
Apêndice F - Circuito Equivalente de Thévenin e de Norton 387
Apêndice G - A Transformada Z 395
G.1 Definição 395
G.2 Propriedades da Transformada Z 397
G.2.1 Linearidade 397
G.2.2 Avanço no Tempo 397
G.2.3 Atraso no Tempo 397
G.2.4 Multiplicação por k 398
G.2.5 Multiplicação por ak (escalonamento no plano-z) 398
G.3 Resultados Adicionais 400
G.3.1 Transformada-z da Convolução de Duas Seqüências 400
G.3.2 Teorema do Valor Final 400
G.3.3 Teorema do Valor Inicial 401
G.3.4 Propriedade de Simetria para Sinais Reais 402
G.3.5 Teorema de Parseval 402
G.3.6 Transformada-z de Seqüências Periódicas 402
G.4 Sinais Discretizados e o Relacionamento Plano-s/Plano-z 403
G.5 Transformada-z Inversa 406
G.5.1 O Método da Expansão em Frações Parciais 406
G.5.2 Divisão Longa 410
G.6 Solução de Equações a Diferenças Lineares, Invariantes no Tempo, pelo Método da Transformada-Z 410
G.7 A Transformada Z Modificada 412
G.8 Tabela de Pares Transformados 413
Apêndice H - Sinais e Sistemas Amostrados 414
H.1 Introdução 414
H.2 Amostragem 416
H.3 “Aliasing” 418
H.4 Extrapoladores de Dados / Segurador de Ordem Zero 422
Apêndice I - Programa Computacional para a Discretização de Modelos no Espaço de Estados 426
Apêndice J - Critérios de Estabilidade 434
J.1 Critério de Estabilidade de Routh-Hurwitz 434
J.2 Critério de Estabilidade para Sistemas Discretos no Tempo 439
Apêndice K - Resposta de Sistemas de Primeira (1ª), Segunda (2ª) e Terceira (3ª) Ordem 442
K.1 Sistemas de 1ª Ordem 442
K.2 Sistemas de 2ª Ordem 446
K.3 Sistemas de 3ª Ordem 455
K.4 Sistemas de Ordem Mais Alta 458
Anexo. Curvas de 3ª Ordem 459b
Apêndice L - Programa Computacional para o Cálculo da Transformada-Z Inversa e Programa Computacional para Cálculo da Resposta a um Pulso ou da Resposta ao Degrau
de Sistema Discreto no Espaço de Estados 460
Apêndice M - Inversão Numérica de Transformadas de Laplace 466
M.1 Algoritmo Implementado no Programa 1 (LAPLAR) 466
M.2 Sobre o Programa 2 (LAPLAZ) 468
Listagem do Programa 1 469
Listagem do Programa 2 473
Apêndice N - Unidades e Fatores de Conversão 475
Apêndice O - Introdução ao MATLAB 483
Apêndice P - Introdução aos Métodos de Resposta em Freqüência 506
P.1 Série de Fourier 506
P.2 Transformada de Fourier 510
P.2.1 Definição 510
P.2.2 Propriedades da Transformada de Fourier 513
P.2.3 Transformada Discreta de Fourier 516
P.2.4 Periodogramas e Janelas de Observação 517
P.2.5 Relação Entre a Transformada de Fourier e a de Laplace 523
P.3 Aplicação a Sistemas Lineares: Resposta em Freqüência 523
P.3.1 Introdução 523
P.3.2 Diagramas Logarítmicos ou Diagramas de Bode 525
P.3.3 Aplicações a Sistemas Discretizados 531
P.3.4 Aplicações a Sistemas Sujeitos a Sinais Aleatórios 535
P.4 Tabela de Séries de Fourier 538
P.5 Tabela de Pares Transformados de Fourier 540

Bibliografia e Referências 541
Exercícios Propostos 544

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